Рубрика: Հանրհաշիվ

1․Որոշել y=x² պարաբոլի ճյուղերի ուղղվածությունը:  

• Ճյուղերն ուղղված են դեպի վերև
• Ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև

2․Գտիր y=x² ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը: Ընտրելճիշտ տարբերակը:

• Ֆունկցիան սահմանափակ չէ ներքևից
• Ֆունկցիան սահմանափակ չէ վերևից

3. Տրված է y=−x² ֆունկցիան: Ընտրել ճիշտ պատասխանը:

ա) y_max=−1 բ) y_max=1 գ) y_max=0

4. Տրված է f(x)=−x² ֆունկցիան: Հաշվել  f(−1); f(−5); f(0); f(2); f(4)։

5. Արդյո՞ք  A(3; 8) կետը պատկանում է  y=x²  ֆունկցիայի գրաֆիկին:

ա) չի պատկանում բ) պատկանում է

6. Արդյո՞ք  A(x; y) կետը պատկանում է  y=x² ֆունկցիայի գրաֆիկին, եթե ա) x=1,y=2; բ) x=3, y=9 գ) x=-2; y=4, դ) x=0,4; y=1,6

7. Համեմատել թվային արտահայտությունների արժեքները՝
ա) 1,17² < 1,18² 
բ) 2,31² < 2․33²

8. y=x²  ֆունկցիայի հանար համեմատել y₁ և y₂ , եթե ա) x₁=0,5 x₂=0,6 բ) x₁=9,2 x₂=8,5

Թեմա՝ Մեկ անհայտով գծային անհավասարումներ։

Անհավասարումները, որոնց ձախ և աջ մասերը x փոփոխականի նկատմամբ առաջին աստիճանի բազմանդամներ կամ թվեր են, անվանում են x մեկ անհայտով գծային անհավասարումներ: 

Հետևյալ անհավասարումները գծային անհավասարումների օրինակներ են:

ա)3x+5<x−2,  բ)5x−4≥−3x−8,  գ)−4x<−2x+6

Լուծենք դրանք:

ա 3x+5<x−2 3x−x<−2−5 2x<−7 x<−3.5 Պատ․՝ x∈(−∞;−3.5]

բ 5x−4≥−3x−8 5x+3x≥−8+4 8x≥−4 x≥−0.5 Պատ․՝ x∈[−0.5;+∞)

գ −4x<−2x+6 −4x+2x<6 −2x<6 x>−3 Պատ․ ՝x∈(−3;+∞)

Գծային անհավասարումներ լուծելիս օգտվում են հետևյալ կանոններից:

1) Անհավասարման անդամները կարելի է տեղափոխել նրա մի մասից մյուսը՝ փոխելով տեղափոխվող անդամի նշանը հակադիրով:

2) Անհավասարման մեջ կարելի է կատարել նման անդամների միացում:

3) Անհավասարումը դրական թվով բազմապատկելիս նրա նշանը չի փոխվում:

4) Անհավասարումը բացասական թվով բազմապատկելիս նրա նշանը փոխվում է հակադիրով:

Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել անհավասարումները։

1․ ա․ x<1, բ․ x>-1 գ․ x<-1 դ․ x<-13/2
2. ա․ x<2 բ․ x>8/3 գ․ x-1/2 դ․ x<-4/11
3. ա․ x E R բ․ x E R գ․ x E R դ․ O/
4. ա․ O/ բ․ O/ գ․ O/ դ․ x E R
5. ա․ x<24 բ․ x<6x

2․ Լուծել անհավասարումները։

ա․ x E R բ․ x<5 գ․ x<2 դ․ x>5

3․Լուծել անհավասարումները

ա․ x<3 բ․ x>5/2 գ․ x<1/2 դ․ o/

Առաջադրանքներ։

1․Գումարել թվային անհավասարությունները։

ա) 18>11 15>7,
18+15=33
11+7=18
33>18
բ) -4>-6 13>8,
(-4)+13=9
-6+8=2
9>2
գ) -16<-7 և 12<37,
(-16)+12=(-4)
(-7)+37=30
(-4)<30
դ) -9<0 և 5<19
(-9)+5=(-4)
0+19=19
(-4)<19

2. Գումարել թվային անհավասարությունները։

ա) 14 + 10 > 11 + 9
բ) -2 + 3 > -3 + 2
գ) -6 + 2 > -5 + 3
դ) -8 + 8 <= 0 + 9

3․Բազմապատկել թվային արտահայտությունները։

ա) 14>10 և 2>1  բ) 5>3 և 6>5  գ) 6<7 և 2<3  դ) 8<9 և 1<2

ա) 14 * 2 > 10 * 1
բ) 5 * 6 > 3 * 5
գ) 6 * 2 < 7 * 3
դ) 8 * 1 < 9 * 2

4․Գումարել  անհավասարությունները: 
ա) 22>17 և 3.2>0.6 
22+3.2=25.2
17+0.6=17.6
25.2>17.6
բ) 53<65 և 7,6<10,9
53+7.6=60.6
65+10.9=75.9
60.6<75.9

5․Զբոսաշրջիկ առաջին օրն անցավ 20 կմ-ից ավելի, իսկ երկրորդ օրը 25 կմ-ից ավելի։ Արդյո՞ք կարելի պնդել, որ զբոսաշրջիկն անցել է 45 կմ-ից ավելի ճանապարհ։ Պատասխանը հիմնավորել։

Այո, քանի որ 20+x+25+y > 45 = 45 + 2x > 45 x-ը դրական է

6․ Ուղղանկյան երկարությունը 13 սմ-ից փոքր է, իսկ լայնությունը՝ 5 սմ-ից փոքր։Արդյո՞ք կարելի պնդել, որ ուղղանկյան մակերեսը 65 սմ²-ից ավելի է։ Պատասխանը հիմնավորել։
Ոչ, քանի որ (13+x)*(5-y) < 65

Թեմա՝ Ռացիոնալ արտահայտություն և նրա թվային արժեքը։ Վարժությունների լուծում։

1. Արտահայտությունը գրել առանց բացասական աստիճանների.

ա) a + b / ab
բ) 1 / (a + b)^2
գ) (ab)^2 / a^2 + b^2
դ) a / a^2 + 1

2. Հաշվել.

ա) 3 / 10
բ) 1 / 36
գ) 1 / 8

3. Տառերի ինչպիսի՞ արժեքների դեպքում է որոշված արտահայտությունը

ա) a-ն հավասար չէ 0-յի
բ) x-ն հավասար չէ 1-ի
գ) c-ն հավասար չէ -3-ի
դ) a-ն հավասար չէ 3-ի

4.  Գտնել արտահայտության արժեքը.

ա) 0.96
բ) 2.5
գ) -4
դ) -91/-9

5. Գտնել արտահայտության արժեքը.

ա) 1 / 10
բ) 2

Թեմա՝ Ռացիոնալ արտահայտություններ և դրանց թվային արժեքը:

Ռացիոնալ արտահայտություն կոչվում է այն արտահայտությունը, որում մի քանի հանրահաշվական կոտորակներ միացված են թվաբանական գործողությունների նշաններով:

Ընդ որում այդ արտահայտությունը չպետք է պարունակի զրոյական բազմանդամի վրա բաժանման գործողություն:

Հանրահաշվական կոտորակը նույնպես անվանում են ռացիոնալ արտահայտություն:

Օրինակ․

Ռացիոնալ են հետևյալ արտահայտությունները՝

Որպեսզի այսպիսի արտահայտությունները ճիշտ պարզեցնել, պետք է՝

•  պահպանել գործողությունների հերթականությունը,
•  պահպանել այդ գործողությունների կատարման կանոնները,
•  հիշել, որ բոլոր գործողությունները կատարվում են միայն այն արժեքների համար, որոնց դեպքում կոտորակներն իմաստ ունեն:

Օրինակ՝

Հարցեր և առաջադրանքներ:

1. Ո՞ր արտահայտությունն է կոչվում ռացիոնալ:

Ռացիոնալ արտահայտություն կոչվում է այն արտահայտությունը, որում մի քանի հանրահաշվական կոտորակներ միացված են թվաբանական գործողությունների նշաններով:

2. Պարզեցնել ռացիոնալ արտահայտությունը.

ա) bc+ac+ab
բ) 15x²-5x+5

3. Արտահայտություններից որո՞նք իմաստ չունեն.

երկրորդը և երրորդը իմաստ չունեն

4.x-ի ինչպիսի թվային արժեքի համար հանրահաշվական կոտորակի արժեքը հավասար է 0-ի.

ա) x = 2
բ) x = -4
գ) x = 2
դ) -2.5
ե) 0

5. Գտնել արտահայտության արժեքը, երբ x=2

ա) x = 2
բ) x = -4
գ) x = 2
դ) -2.5
ե) 0

6. Հաշվել արտահայտության արժեքը.

ա)10/3
բ)-237/25
գ)-5/3

Թեմա՝՝ Վարժությունների լուծում

1. Լուծել հավասարումների համակարգը գործակիցների հավասարեցման գումարման մեթոդով:

ա) x+3y-1=-x+4y+8
2x-y-9=0
-y=9-2x
y=-9+2x
x+3(2x-9)-1=0
x+6x-27-1=0
7x=28
x=4
y=-9+8=-1
y=-1
(4;-1)
բ)x-2y+3=-x+3y-2
2x -5y+5=0
-5y=-2x-5
y=(2x+5)/5
x-4x+10/5+15=0
x+25=0
x=-25
y=-9
(-25;-9)
գ)x-y+2=3x+y-4
2x+2y-6=0
x+y-3=0
x=3-y
3-y-y-2=0
-2y=-1
y=0.5
x=2.5
(2.5;0.5)
դ) 2x+y-3=-x-y+4
3x+2y-7=0
y=7-3x/2
2x+7-3x-3/2=0
4x+7-3x-6/2=0
x+1=0
x=-1
y=5
(-1;5)

2. Լուծել հավասարումների համակարգը տեղադրման եղանակով.

ա) x=3-2y
3-2y+y+1=0
-y=-4
y=4
x=3-8=-5
x=-5
(-5;4)

բ) x=3y-3
3y-3+y=1
4y=4
y=1
x=3-3=0
(0; 1)

գ) y=2-4x
3x+2-4x+3=0
-x=-5
x=5
y=2-20=-18
y=-18
(5;-18)

դ) x=y+7
21+3y-y+1=0
2y=-22
y=-11
x=-11+7=-4
x=-4
(-4;-11)

3. Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի.

ա) 2a+3b/6
բ) x-2y/4
գ) 10m-12/15
դ) 20m+6n/15=2(10m+3n)/15
ե) 17p/12
զ) 3a²-8a/12=a(3a-8)/12
է) 74x²/15
ը) 54xy-35xy²/63=xy(54-35y)/63

4. Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի.

ա) 2x-3/x³
բ) 7-3am²/m⁴
գ) ab⁷+a⁵b³/(a⁵b⁵)(ab⁷)
դ) 4x²b⁵-3x⁴b³/x⁶b⁸
ե) 3a(xy⁴z)-3b(x⁷y⁵z)/x⁸y⁹z⁶
զ) m⁷n*a³*b⁶*c⁴+3m²*a⁴b³c⁴/a⁷b⁹c¹³

5. Կատարել գործողությունները.

ա) a+1/7x*2x/a+1=2/7
բ) 2/3n
գ) 2/p
դ) 2ab
ե) 4
զ) 12(a-b)/5a²b²

Թեմա՝ Երեք անհայտով հավասարումների համակարգեր:

ax + by + cz + d=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a, b, c և d-ն տրված թվեր են, ընդ որում a, b, c թվերից , գոնե մեկը 0-ից տարբեր է, անվանում են երեք անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում։ (x₀,y₀, z₀) թվերի եռյակը անվանում են հավասարման լուծում, եթե այդ թվերը բավարարում են հավասարմանը, այսինքն եթե հավասարման մեջ x-ի փոխարեն տեղադրում են x₀ , y-ի փոխարեն տեղադրում են y₀ , z-ի փոխարեն՝ z₀ հավասարումը դառնում է ճիշտ թվային հավասարություն` ax₀+by₀+cz₀+d=0

Դիտարկենք երեք անհայտովհավասարումների համակարգի լուծման օրինակներ և ցույց տանք, որ այդ համակարգերը կարելի է լուծել տեղադրման եղանակով։ Օրինակ․ Լուծենք հետևյալ հավասարումների համակարգը՝

Համակարգի երրորդ հավասարումից x-ն արտահայտենք y և z-ով` x= y-z և y-z-ը x-ի փոխարեն տեղադրենք համակարգի առաջին և երկրորդ հավասարումների մեջ։ Կստանանք՝

հավասարումները, որոնք նման ամդամների միացումից հետո կգրվեն այսպես`

Այսպիսով,տեղադրման եղանակով կարելի է x, y և z երեք անհայտով երեք առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգի լուծումը բերել y և z երկու անհայտով երկու առաջին աստիճանի երկու հավասարումների համակարգի լուծման։ Լուծելով վերջին համակարգը՝ գտնում ենք, որ y₀=-2, z₀=1։ y₀-ի և z₀-ի արժեքները տեղադրելով x=y-z արտահայտության մեջ՝ գտնում ենք, որ x₀=-3 ։ Այսպիսով, համակարգն ունի միակ լուծում` x₀=-3, y₀=-2, z₀=1։ Պատ․՝ (-3;-2;1)

Օրինակ 1

Օրինակ 2

Օրինակ 3

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար կիրառում են նաև Գաուսի մեթոդը։ Օրինակով դիտարկենք այդ մեթոդը։ Լուծենք հետևյալ հավասարումների համակարգը՝

Երրորդ հավասարումից գտնում ենք ՝ z=3։ Երկրորդ հավասարման մեր z-ի փոխարեն տեղադրելով 3՝ գտնում ենք՝ y=2։ Վերջապես առաջին հավասարման մեջ z-ի փոխարեն տեղադրելով 3, իսկ y-ի փոխարեն 2, գտնում ենք՝ x=1։ Այսպիսով , համակարգն ունի միակ լուծում ` (1;2;3) Այս տեսքի հավասարումների համակարգերն անվանում են «եռանկյունաձև» տեսքի հավասարումների համակարգեր։

Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել հավասարումների համակարգը․

ա) {x=1
{3x+2y-3z=2
{5x-y-5z=-1

3+2y-3z=2
5-y-5z=-1

3+2y-3z=2
5-y-5z=-1

2y-3z=-1
-y-5z=-6

-y=-6+5z
y=(6-5z)

2(6-5z)-3z=1

12-10-32=-1
-13z=-1-12
-13z=-13
z=1

{x, y, z=1

բ)

y=12:3=4
x+4+z=7
x-8+2z=-3

y=4
x=3-z
3-z-8+2z=-3
z=-3-3+8=2

{y=4
{x=3-z
{z=2

{y=4
{x=3-2=1
{z=2

գ)

{6y-2y-z=1
{10y+4y-2z=8

{4y-z=1
{14y-2z=8

{z=-1+4y
{14y-2*(-1+4y)=8

14y+2-8y=8
6y=6
y=1

x=2×1=2

z=-1+4*1
z=3

{x=2
{y=1
{z=3

{x=(5-y)
{3*(5-y)-2y+z=6
{5-y-5y+3z=-4

{x=5-y
{-5y+z=-11
{-6y+3z=-9

z=-11+5y
-6y-3z+15y=-9

-6y-3*(-11+5y)+15y=9
-6y=-9-33
y=7

z=-11+5*7
z=24

x=5-y=5-7=-2

{x=-2
{y=7
{z=24

2․ Լուծել «եռանկյունաձև» տեսքի հավասարումների համակարգը․

ա) {x-4*3=2
{x=14

բ) x=-7
2*(-7)-3y=1
-14-3y=1
-3y=-15
y=5

x=-7
y=5

գ) x=3
-3*3+5y=16
-9+5y=16
5y=16+9=25
y=25:5=5

x=3
y=5

դ) 4y-3*2=2
3x+4y-6*2=2

4y-6=2
4y=2+6=8
y=8:4=2

3x+4*2-6*2=2
3x+8-12=2
3x=6
x=2

x=2
y=2
z=2

ե) x=-3
3*(-3)-y=0
y=9
3+9-z=-6
-z=-6-12
z=18

x=-3
y=9
z=18

զ) x=5
4*5-3y=5
-3y=20-5=15
y=-5

-5-5+z=5
z=15

x=5
y=-5
z=15

3․ Լուծել հավասարումների համակարգը․

2z=-18+4y
z=2y-9
x+6y+9(2y-9)=-43
x+6y+18y-81=-43
x+24y=38
x=38-24y
-5(38-24y)-5y+9(2y-9)=-5
-190+120y-5y+18y-81=-5
133y=266
y=2
x=-10
z=-5

-4x-5y-4z=-52

4z=67-5x-9y
4z=35-5x-y
4z=52-4x-5y

67-5x-9y = 35-5x-y
67-9y=35-y
8y=32
y=4

35-5x-y=52-4x-5y
35+4y=x+52
35+16=x+52
x+52=51
x=-1

4z=35+5-4
4z=36
z=9

8x=37+6y-2
8x=y+5z-16
8x=-12-y-2

37+6y-z=-12-y-z
37+6y=-12-y
7y=-37-12
7y=-49
y=-7

ա)A=2
բ)A=40
գ)A=12
դ)A=-75
ե)A=5b
զ)A=36x²y

2․ Արտահայտությունը գրել կոտորակի տեսքով․

ա)3a/2
բ)2x/3
գ)-13x/7
դ)6+a/3
ե)a+1/a
զ)1-ab/b

3․Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․

ա)a+b/ab
բ)2y-3x/xy
գ)xb+ay/ab
դ)5ax-7b/7x
ե)3-2a/6a
զ)bc-a/abc

Advertisement

4․ Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․

ա)bm+cm/abc
բ)2ab-5an/mnb
գ)2ab-8b²+4a/mb
դ)xz-xy/xyz

5․Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․

ա)-x/8
բ)7a/24
գ)2m²-6m/6
դ)5a-2/30
ե)11x+9/24
զ)5a-13/30

6. Կատարել գործողությունները․

а)1/3
б)6y
в)4ab
г)???

7․Կատարել գործողությունները․

1)2/3x
2)6axy
3)13xm/3n
4)3x/y
5)11x²/3ab
6)4a³/5by

Թեմա՝ Հանրահաշվական կոտորակների գումարումն ու հանումը

Հավասար հայտարարներով կոտորակների գումարման և հանման ժամանակ՝ գումարվում կամ հանվում են նրանց համարիչները, իսկ հայտարարները մնում են անփոփոխ:

Նույն կանոնով գումարվում և հանվում են հավասար հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակները՝

• հանրահաշվական կոտորակների գումարման ժամանակ, համարիչները գումարվում են, իսկ հայտարարները մնում են անփոփոխ՝

• հանրահաշվական կոտորակների հանման ժամանակ, համարիչները հանվում են, իսկ հայտարարները մնում են անփոփոխ՝

Նույն կանոնով կարելի է գումարել կամ հանել հավասար հայտարարներով մի քանի կոտորակներ՝ 

Եթե կոտորակների հայտարարները հակադիր արտահայտություններ են, ապա դրանց գումարելու կամ հանելու համար պետք է սկզբում կիրառել հանրահաշվական կոտորակների նշանների փոփոխման կանոնը,

ապա գումարել կամ հանել հավասար հայտարարներով կոտորակները:

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ հանրահաշվական կոտորակների հայտարարները իրարից տարբեր միանդամներ են, օրինակ այսպիսի՝ 

Այդպիսի հանրահաշվական կոտորակները գումարելու կամ հանելու համար պետք է՝

•  գտնել ընդհանուր հայտարարը,
•  որոշել յուրաքանչյուր կոտորակի լրացուցիչ արտադրիչը (ընդհանուր հայտարարի բերելիս),
•  գումարել կամ հանել նոր կոտորակների համարիչները,
•  հնարավորինս կրճատել ստացված կոտորակը:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ինչպե՞ս են գումարվում միևնույն հայտարարով հանրահաշվական կոտորակները։

Հավասար հայտարարներով կոտորակների գումարման և հանման ժամանակ՝ գումարվում կամ հանվում են նրանց համարիչները, իսկ հայտարարները մնում են անփոփոխ:

2․ Ինչպե՞ս են գումարվում հակադիր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակները։

Եթե կոտորակների հայտարարները հակադիր արտահայտություններ են, ապա դրանց գումարելու կամ հանելու համար պետք է սկզբում կիրառել հանրահաշվական կոտորակների նշանների փոփոխման կանոնը,

3․ Ինչպե՞ս են գումարվում տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակները։

Այդպիսի հանրահաշվական կոտորակները գումարելու կամ հանելու համար պետք է՝

•  գտնել ընդհանուր հայտարարը,
•  որոշել յուրաքանչյուր կոտորակի լրացուցիչ արտադրիչը (ընդհանուր հայտարարի բերելիս),
•  գումարել կամ հանել նոր կոտորակների համարիչները,
•  հնարավորինս կրճատել ստացված կոտորակը:

4․ Կատարել գործողությունները․

ա) x+y/3

բ) a-b/7

գ) 2x-3y/ 5

5․ Կատարել գործողությունները․

ա) x/2
բ) 3a-1/3
գ) 2a+b/5
դ) 2y-x/7

6․Կատարել գործողությունները․

7․ Պարզեցրել արտահայտությունը․

ա) 3/a
բ) a+3/x
գ) -a/b
դ) 5m+3n/4
ե) 4x/4=x
զ) 5a/8

8․ Կատարել գործողությունները․

ա) 8/a+b

բ) 1/x-1

գ)a6/a+b

դ) m2-2/m+n

ե) -x-9/x-3

զ) 8p-8/p+1

Առաջադրանքներ

1.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) x/x-2 և 1/2-x=-1/x-2

բ)x/5+x և 3/x+5=3/x+5

գ) 4x/x-1 և 2-7x/1-x=-2/x-1

դ) 2x/3x+6 և 5/x+2=2x/3x+6 և 15/3x+6

ե) 15/2x-8 և 7/x-4=15/2x-8 և 14/2x-8

զ) 3-x/5-x և 5/2x-10=-6-2x/2x-10 և 5/2x-10

2.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) x/3x-x^2 և 4/3-x=x/3x-x^2 և 4x/3x-x^2

բ) 1/2+x և x-1/x^2-4=-1/x^-4 և x-1/x^2-4

գ) 3/4+6x և 5x/9x+6=

դ) 5x/3-x և 2/x^2-9=25x/x^2-9 և 2/x^2-9

3.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) x/4x+x^2 և 4/3x+12=

բ) 13x/25-x^2 և x-1/10+2x=

գ) x-3/4-x^2 և 5x/x^2-4=

դ) 2/(x-3)^2 և 1+x/x^2-9=2/x^2-9 և 1+x/x^2-9

4.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) 3x/x^2+4x+4 և x-4/5x+10=

բ) 1+x/x^2+4x+4 և x-4/5x+10=

գ) x/9-3x-x^2 և 5/x^3-27=

դ) 12/(x-3)^2 և 2+x/(3-x)^2=12/x^2-9 և -2+x/x^2-9