Рубрика: Հանրհաշիվ

Առաջադրանքներ

1.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) x/x-2 և 1/2-x=-1/x-2

բ)x/5+x և 3/x+5=3/x+5

գ) 4x/x-1 և 2-7x/1-x=-2/x-1

դ) 2x/3x+6 և 5/x+2=2x/3x+6 և 15/3x+6

ե) 15/2x-8 և 7/x-4=15/2x-8 և 14/2x-8

զ) 3-x/5-x և 5/2x-10=-6-2x/2x-10 և 5/2x-10

2.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) x/3x-x^2 և 4/3-x=x/3x-x^2 և 4x/3x-x^2

բ) 1/2+x և x-1/x^2-4=-1/x^-4 և x-1/x^2-4

գ) 3/4+6x և 5x/9x+6=

դ) 5x/3-x և 2/x^2-9=25x/x^2-9 և 2/x^2-9

3.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) x/4x+x^2 և 4/3x+12=

բ) 13x/25-x^2 և x-1/10+2x=

գ) x-3/4-x^2 և 5x/x^2-4=

դ) 2/(x-3)^2 և 1+x/x^2-9=2/x^2-9 և 1+x/x^2-9

4.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) 3x/x^2+4x+4 և x-4/5x+10=

բ) 1+x/x^2+4x+4 և x-4/5x+10=

գ) x/9-3x-x^2 և 5/x^3-27=

դ) 12/(x-3)^2 և 2+x/(3-x)^2=12/x^2-9 և -2+x/x^2-9

Թեմա՝ Հանրահաշվական կոտորակներ

Հարցեր և առաջադրանքներ
1.Գրեք հանրահաշվական կոտորակներիի օրինակներ։

4/5, 6/7, a/2b
2.Գրեք  անկրճատելի, անկանոն, կանոնավոր կոտորակների օրինակներ։
2/3, 3/2,
3.Գրեք այնպիսի հանրահաշվական կոտորակ, որն հնարավոր լինի կրճատել։
3/9
4.Գրեք այնպիսի հանրահաշվական կոտորակ, որը հնարավոր չլինի կրճատել։
6/7
5.Կազմեք այնպիսի հանրահաշվական կոտորակ, որն կրճատվի
ա) 2-ով

4/6
բ) a-ով

4a/ab
գ) ab-ով

8abc/dab
դ) 2a^3b-ով

6.Կոտորկաները դարձրեք 36x^2 հայտարարով․

5/36*1/x²
2/x²*1/36
11/3x*1/12x
7/9x²*1/4
1/4x*1/9x

7.Կոտորկաները դարձրեք 20x^2y հայտարարով․

1/20y*1/x²
5/x²*1/20y
7/20*1/x²y
11/2x*1/10xy
3/5xy*1/4x

8.Կոտորկաները դարձրեք նույն հայտարարով․

ա) 3x/6+2/6
բ) 7x/35+(-15/35)
գ) 12x/30+(-25/30)

9.Կոտորկաները դարձրեք նույն հայտարարով

ա) -x/(x-2)²+1/(x-2)²
բ) x/(5+x)²+-3/(5 +x)²

10. Կրճատեք կոտորակը

ա) a+b/c+d
բ) a+b/m+n
գ) x/(x+y)

Թեմա՝ Հանրահաշվական կոտորակներ

Հանրահաշվական կոտորակ կոչվում է A/B տեսքի արտահայտությունը, որտեղ A-ն որևէ բազմանդամ է, իսկ B-ն՝ ոչ զրոյական բազմանդամ:
Հիշեցում․ Բազմանդամ կոչվում է  միանդամների գումարը։

Բերենք մի քանի հանրահաշվական կոտորակների օրինակներ․
x/4
(a+b)/a
-5/(a+b+c+d) 
(a+b)/(a-b)

Հանրահաշվական կոտորակները օժտված են մի քանի հատկություններով․

Այսինքն.
I հատկություն
հանրահաշվական կոտորակի հայտարարի մեկը կարել է անտեսել։
Տես օրինակը․ (a+b)/1=a+b

II հատկություն․
հանրահաշվական կոտորակը չի փոխվում, երբ համարիչը և հայտարարը բազմապատկում ենք ոչ զրոյական նույն բազմանդամով։
Տես օրինակը․
(a+b)/(a-b)=(a+b)(d+2)/(a-b)(d+2)

III հատկություն․
հանրահաշվական կոտորակի առջևում դրված մինուս նշանը կարելի է տեղաշարժել համարիչ կամ հայտարար։
Տես օրինակը․
-(a+b)/(c+d)=(a+b)/-(c+d)

Հարցեր և առաջադրանքներ

1.Ի՞նչ է բազմանդամը, բերեք օրինակներ։

Բազմանդամ կոչվում է  միանդամների գումարը։

2.Ի՞նչ է հանրահաշվական կոտորակը, բերեք օրինակներ։

Հանրահաշվական կոտորակ կոչվում է A/B տեսքի արտահայտությունը, որտեղ A-ն որևէ բազմանդամ է, իսկ B-ն՝ ոչ զրոյական բազմանդամ:

3.Հանրահաշվական կոտորակները ի՞նչ հատկությամբ են օժտված, օրինակներով ցույց տվեք։

1 հատկություն
հանրահաշվական կոտորակի հայտարարի մեկը կարել է անտեսել։

2 հատկություն․
հանրահաշվական կոտորակը չի փոխվում, երբ համարիչը և հայտարարը բազմապատկում ենք ոչ զրոյական նույն բազմանդամով։

3 հատկություն․
հանրահաշվական կոտորակի առջևում դրված մինուս նշանը կարելի է տեղաշարժել համարիչ կամ հայտարար։

4.Կրճատեք կոտորակները․

ա) 1/2
բ) 2/3
գ) 3/14
դ) 64/231

5.Օգտագործելով հանրահաշվական կոտորակի հատկությունը, գրեք կոտորակը բազմանդամի տեսքով․

ա) x – 1
բ) 3x + y
գ) x^2 + 3xy – y^2

6.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի․

ա) 10/15, 12/15
բ) 21/28, 36/28
գ) 8/9, – 5/9
դ) 28/35, – 15/35
ե) 4/6, 5/6
զ) 13/14, 12/7
է) 7/9, – 15/9
ը) 2/5, – 5/10
թ) 9/30, 8/30

7.Կրճատեք կոտորակները․

ա) (x + y) / 2ax
բ) 1
գ) 2/5

8.Կրճատեք կոտորակները․

ա) (x + y) / 2
բ) (a + b) / 2a
գ) (m – n)/2mn

Առաջադրանքներ ամրապնդելու համար
1. Հաշվեք

ա) 1/16
բ) 1/3
գ) 1/81
դ) 1
ե) 9/20
զ) 1/9

2. Ստուգեք հավասարությունը

ա) Ճիշտ է
բ) Ճիշտ է

3. Հաշվեք

ա) 1/8
բ) -8
գ) -1/8
դ) -8
ե) 1/16
զ) 16
է) 1/16
ը) -16

4. Ներկայացրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճաի տեսքով

ա) (a * b)^-3
բ) (7 * 0.5)^3

5. Ներկայացրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճաի տեսքով

ա) a^6b^-15

բ) a^14b^-4

գ) a^12b^20

6. Համեմատեք

ա) >
բ) =
գ) >

7.Ներկայացրեք քառակուսու տեսքով

ա)(a^2)^2

ա)(a^10)^2

գ)(a^25)^2

8. Կատարեք բազմապատկումը

1)a^8
2)b^9
3)-m^6
4)-x^8
5)-y^11
6)c^11
7)p^n+2
8)a^m+4
9)x^n+k+3
10)y^n+5
11)z^3n – 2
12)b^-m+3

9. Բարձրացրեք աստիճան

1)a^6
2)x^8
3)-y^12
4)-x^20
5)-c^40
6)x^21
7)-y^45
8)b^12
9)z^3n
10)y^5k

Թեմա՝ Ամբողջ ցուցիչով աստիճանի հատկություները

Դիցուք a-ն և b-ն զրոյից տարբեր ցանկացած իրական թվեր են, իսկ m-ը և n-ը՝ ցանկացած ամբողջ թվեր։ Այդ դեպքում ճիշտ են հետևյալ հավասարությունները՝


Տես օրինակները


Առաջադրանքներ։
1. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) 2^3×2^4=2^3+4=2^7

բ) 5×5^6=5^1+6=5^7

գ) 4^3×4^2×4=4^3+2+1=4^6

դ) 7^2x7x7^5=7^2+^1+5=7^8

ե) 3^6×3^7x3x3=3^6+^7+1+1=3^15

զ) 6^4×6^4×6^3×6^2=6^4+4+3+2=6^13

է) 11^2×11^2×11^2=11^2+2=2

ը) 9^3×9^6×9^2×9^4×9=9^3+6+2+4=6^15

2. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) a^5^.a^4=a^5+4=a^9

բ) a^3^.a^8=a^3+8=a^11

գ) a^10^.a=a^10+1=a^11

դ) a^.a^7=a^8

ե) a^.a=a^1+1=a^2

զ) a^.a^2^.a^3^.a^4=a^1+2+3+4=a^10

3. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) 2^5:2^4=2^5-4=2

բ) 3^7:3^8=3^-1

գ) 5^9:5=5^9-1=5^8

դ) 10^3/10=10^3-1=10^2

ե) 5^7/5^13=5^7-13=5^-6

զ) 8^12/8^10=8^12-10=8^2
4. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) a^7:a^3=a^7-3=a^4

բ) a^8:a^12=a^8-12=a^-4

գ) a^6:a=a^6-1=a^5

դ) a^12/a^4=a^12-4=a^8

ե) a^20/a^22-a^20-22=a^-2

զ) a^20/a=a^20-1=a^19
5. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) 10^2/12^2=(10/12)^2

բ) 4^3/5^6=(2^2)^3/5^6=(4^6/5^6)

գ) 25^4/7^8=(5^2)^7/7^8=5^8/7^8=(5/7)^8

դ) (m^3)^4/(a^3)^3=m^12/a^12=(m/a)^12

ե) m^3m^5/a^8=m^3+5/a^8=m^8/a^8

զ) (n^6)^2/a^12=n^12/a^12

6. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) a^3^.a^4=a^3+4=a^7

բ) a^4^.a=a^4+1=a^5

գ) a^13:a^6=a^13-6=a^7

դ) a^12:a=a^12-1=a^11

ե) (a^4)^6=a^24

զ) (a^2)^5=a^1-

է) a^7^.b^7=(ab)^7

ը) a^4^.b^4=(ab)^4

7. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) a^5:a^6=a^5-6=a^-1

բ) a^7:a^6=a^7-6=a^1

գ) a^4:a=a^4-1=a^3

դ) a^12:a^12=a^12-12=a^0=1

ե) a^-4:a^6=a^-4-6=a^-10

զ) a^4:a^-5=a^4-(-5)=a^9

է) a^-11:a^-8=a^-11-(-8)=a^-3

ը) a^-4:a=a^4-1=a^-3

թ) a^6:a^5=a^6-5=a

ժ) a^9:a^0=a^9-0=a^9

ի) a^-3:a^0=a^-3-0=a^-3

լ) a^0:a^-8=a^0-(-8)=a^8

8. Աստղանիշի փոխարեն գրեք այնպիսի թիվ, որ հավասարությունը ճիշտ լինի.

ա 3^5x*=3^8

3^8:3^5=3^3

բ) 4^3x*=4^6

4^6:4^3=4^3

Թեմա՝ Ամբողջ ցուցիչով աստիճանի գաղափարը

Թվի (միանդամի) ցուցիչը, երբ բնական թիվ էր, մենք ուսումնասիրել ենք նախորդ ուսումնական տարում, այս տարի էլ հասցրել ենք մի քիչ  կրկնել, տես օրինակը

Երբևէ  մտածել ես ինչի՞ է հավասար այս արտահայտությունը, երբ թվի ցուցիչը բացասական թիվ է կամ զրո է

Պայմանավորվենք, այսուհետ բացասական ցուցիչով աստիճանը համարել՝


Օրինակներ Տիգրան





Կարևոր


Առաջադրանքներ

1. Հաշվեք․

ա) 1
բ)1
գ)1
դ )1

2. Հաշվեք․


ա) 2
բ) 1
գ)2^-1
դ)2^-2
3. Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով․

ա) 2³
բ) 2⁸
գ)3^-2
դ)4¹
ե)3^-1
զ)3^-4
է)5¹
ը)16^-1
թ)25^-1
ժ)2⁰
4. Հաշվեք․

ա) 10000, 1000, 100, 10, 1, 1/10, 1/100, 1/1000, 1/10000
բ) 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16
գ) -27, 9, -3, 1, -(1/3), 1/9, -(1/27)
5. Համեմատեք․

ա) =
բ) <
գ) <
դ) <
ե) >
զ) <

Առաջադրանքներ կրկնողության համար

1. 

ա)x⁴y⁴
բ)1000a³
գ)27bc³
դ) x^3y^3z^3
ե) 16a^2b^2c^2
զ) 256a^4 b^4
է) 32+a^5+b^5
ը) 3a^2

2.

ա) 8 x^2 y^4
բ) a^4 b^3
գ) a^5 b^4 c^3
դ) 9 x^3 y^5 z^2
ե) a^4 x^4
զ) a^6 b^5
3.

ա) (ab)^4
բ) (3x)^3
գ) (0,245b)^2
դ) (-2xy)^3
ե) (3xy)^4
զ) (2y)^5
ի) (2a)^4
լ) (4a)^2
թ) (2m)^3
4.

ա) a^12
բ) x^10
գ) x^5 y ^3 z
դ) b^2 c^4 d^8
ե) 9 a^6
5.

ա) a^11:a^4=a^7
բ) a^5:a^3=a^2
գ) a^9:a^6=a^3
դ) a^n+1:a^2
ե) a^3.a^5=a^8
զ) a^2.a^7=a^9
6.

ա) y^8 x^12
բ) 8 a^6
գ) 2t a^6
7.

ա) 6a^2 b
բ) 8 b^2 c^5
գ) 9 c^2 t^3
դ) 14 x^4 y^5
ե) 6 x^4 y^4
զ)25!a⁵0

Թեմա՝ Ամբողջ ցուցիչով աստիճանի գաղափարը
Դիտարկենք դրական ցուցիչի դեպքը/ անցել ենք նախորդ ուսումնական տարոմ/
1. Միանդամը ներկայացրեք ավելի կարճ գրելաձևով.
ա) 2xxxbb = 2x^3b^2
բ) 4aaaayyyc = 4a^4y^3c
գ) xxyxxy = x^4y^2
դ) xx17yyy = x^217y^3
ե) kkkk = k^4
զ) a^2a^ 3 = a^5
է) b^4 b = b^5
ը) c^3 c^3 = c^6
թ) 14abc^2b^2a^3c^3 = 14a^4b^3c^5

2.  Միանդամը ներկայացրեք ավելի կարճ գրելաձևով.

ա) (−3)b2 = -6b
բ) 4a3 = 12a
գ) (−2)b^2 b5 = -10b^3
դ) 3a a a a a a ⋅ 2 = 6a^6
ե) pa² ⋅ (−1)p³ a = -a^3p^4
զ) ararat = a^3r^2t

3.  Բազմապատկեք միանդամները.
ա) 3ab ⋅ 2a = 6a^2b
բ) 8bc^4 ⋅ bc = 8b^2c^5
գ) 9c t^2 ⋅ 10ct = 90c^2t^3
դ) 7x² y ⋅ 2x² y⁴ = 14x^4y^5
ե) 1,5x³ y ⋅ 4 x y² = 6x^4y^3
զ) a^15  ⋅ 20а^9 = 20a^24

ա) (2^4 )^ 2 և 2^4 x2 — >
բ) (3^2 ) ^2 և  3^2 x2 — >
գ) (5^2 )^ 4 և 5^2 x 4 — >
դ) (4^3 )^ 2 և 4^3 x 2 — >

5. Աստղանիշի փոխարեն ընտրեք այնպիսի միանդամ, որ ստացվի ճիշտ հավասարություն. ա) 2a^2 b  x 7a^3b = 14a^5 b^2
բ) 14a^2 c^3   x   15a^4c^(-2)b = 42a^6 cb5
գ) 4bc^4 x 17b^3 c^4 = 68b^4 c^7
դ) 8a^2c^-2e^9 x  11a^3 c^2 = 88a^5 e^9 :

6.Հաշվեք
ա) 3 x(−2)^ 2 = 12
բ) −4 x (−3) ^3 = 108
գ) −(−3) ^3 = 27
դ) −(−2)^ 3 = 8
ե) −(−0,3)^ 2 = -0.9
զ) −(−0,5)^ 3 = 0.125
է) (−3^2 )^2 = 81
ը) (−1)^ 20237 = -1

7. Օրվա խնդիրը։
Գինեգործը իր ունեցած 420 դույլ գինուց վաճառեց 6 անգամ ավելի շատ դույլ գինի, քան իր մոտ մնաց։ Նա որքա՞ն դրամ վաստակեց, եթե յուրաքանչյուր 5 դույլ գինին վաճառեց 2500 դրամով։
180 000 դրամ

Բլոգների ստուգում, հոկտեմբեր ամսվա աշխատաքի գնահատում։
Սիրելի՛ սովորող, խնդրում եմ լրացրու  ձևաթուղթը։
Բաց թողած աշխատանքների վերանայում։
Մաթեմատիկական ֆլեշմոբ․ հոկտեմբեր ամիս։
Մաթեմատիկական նախագիծ հոկտեմբեր ամսվա համար․
Համացանցից կամ այլ աղբյուրներից գտնել տեղեկություն, ուսումնասիրել ստորև նշված թեմաներից որևէ մեկը, պատրաստել ուսումնական նյութ։
ա)
«Թվաբանական նշանների առաջացումը, պատմությունը»
«Մաթեմատիկական նշանների, սիմվոլների պատմությունը»
«Երկրաչափական տերմինների ծագումը, պատմությունը»
«Մաթեմատիկական պարադոքսներ»
«0 -ի ծագումը»
«Բազմանկյուններ»
«Բացասական թվեր, առաջացումը, պատմությունը»
«Հայտնի հայ մաթեմատիկոս, աշխատանքները»
Սովորողի առաջարկով այլ թեմա։

բ) կամ
«Մաթեմատիկա» ամսագրի սպասարկում սովորողի ցանկությամբ (նամակով տեղեկացնել դասավանդողին)․
«Թարգմանական աշխատանք, խնդիրների թարգմանություն»
«Մաթեմատիկական խաղերի պատրաստում տարբեր տարիքի սովորողների համար»։

Օրվա աշխատանքը։
Կրկնողություն
1. Բարձրացրեք քառակուսի

ա) a^2 – 2ab + b^2:
բ) x^2 – 6x + 9
գ) m^2 – 2m + 1
դ) p^2 + 10p + 25
ե) 4a^2 – 12a + 9
զ) 9y^2 – 24y + 16
2. Բարձրացրեք քառակուսի

ա) m^2+2mn+n^2
բ) 4 + 4x + x^2
գ) y^2 + 8y + 16
դ) 1 + 2p + p^2
ե) 4x + 4x + 1
զ) 4 + 12a + 9a^2
է) 9m^2 + 30mn + 25n^2
ը) 9x^2 + 24xy + 16y^2
3. Լուծիր գծային հավասարումների համակարգը

ա) y = 1
բ) y = 11
գ) x = 3
դ) x = 4

Աշխատում ենք ինքնուրույն


1.Կազմիր մեկ անհայտով գծային հավասարում։ Նշիր անհայտի գործակիցը, այնուհետև փորձիր  լուծել։
Տես օրինակը՝
2x+5=35
Անհայտի գործակիցն է՝ 2
Լուծումը կլինի՝
2x=35-5
2x=30
x=15

14x + 7 = 35
Անհայտի գարծակից՝ 14
14x = 35-7
14x = 28
x = 2

2. Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում։ Նշիր x-ի, y-ի գործակիցները, ազատ անդամը։
Տես օրինակը՝
3x+45y-21=0
x-ի գործակիցը՝ 3
y-ի գործակիցը՝ 45
Ազատ անդամը՝ -21

14x + 7y = 35
x-ի գործակիցը՝ 14
y-ի գործակիցը՝ 7
14x + 7y = 35


3. Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում։ Հավասարման համար գտիր երկու տարբեր լուծումներ։
Տես օրինակը՝
x+y=30
Առաջին լուծումը՝ x=14; y=16
Երկրորդ լուծումը՝ x=13; y=17

x + y = 1
Առաջին լուծումը՝ x=1; y=1
Երկրորդ լուծումը՝ x=2; y=0

4. Կազմիր առաջին աստիճանի երկու անհայտով հավասարում այնպես, որ լուծումը լինի այս թվազույգը՝ (4, 5):
Տես օրինակը՝ 4x+5y-41=0
12x + 14y = 30
(1 ; 2)

5. Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում, այնուհետև x-ը արտահայտիր y-ով։  Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում, այնուհետև y-ը արտահայտիր x-ով։

Տես օրինակը՝
x+7y=48
x=48-7y
Հաջորդ օրինակը՝
y+2x-21=0
y=21-2x

y + 7x = 16
y = 16-7x

6. Ցույց տուր, որ  (1; 2)  թվազույգը համակարգի համար լուծում է.
{x+y-3=0
{x-y+1=0
1(x) + 2(y) – 3 = 0
1(x) – 2(y) + 1 = 0

7. Lուծիր համակարգը տեղադրման եղանակով.
{x-5y=0
{7y+x=36
(15 ; 3)

8. Lուծիր համակարգը գումարման եղանակով.
{x+y=28
{x-y=22
(25 ; 3)

9.Lուծիր համակարգը հանման եղանակով.
{7x-y=0
{3x-y=40
(-10 ; -70)

10.Lուծիր համակարգը գործակիցները հավասարեցման եղանակով։
{2x+3y=80
{3x+2y=70
(10 ; 20)